在coq中定义多态类型

所以我在做一个学习coq的练习。我试图根据这种编码定义一种类型： 对于所有X.（X->X）->X->X`这是来自阿隆佐教堂（他提出了自然数的编码）的，如下所示：

Definition succ (n : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).

Definition plus (n m : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => (n X f (m X f x)).

Theorem plus_succ: forall (n : nat),
  plus n one = succ n.
Proof.
  intros.

0，f:x:x

1，f:x:fx

2，f:x:f（外汇）

3，f:x:f（f（fx））

n，f:x:fnx:

我的代码如下：

Definition nat:=对于所有X:Type，（X->X）->X->X.

这个练习需要我定义表达式0、1、2和3，它们将相应的数字编码为nat的元素： 下面是我认为会发生的事情

Definition zero : nat :=
  fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => x.
Definition one : nat := 
  fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f x.
Definition two : nat :=
  fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (f x).
Definition three : nat :=
  fun (X:Type)(f: X -> X)(x: X) => f ( f ( f x )).

我的问题是我需要证明+n one=succn。n是我定义的类型Nat

我的成功函数定义如下：

Definition succ (n : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).

Definition plus (n m : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => (n X f (m X f x)).

Theorem plus_succ: forall (n : nat),
  plus n one = succ n.
Proof.
  intros.

我的plus功能定义如下：

Definition succ (n : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).

Definition plus (n m : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => (n X f (m X f x)).

Theorem plus_succ: forall (n : nat),
  plus n one = succ n.
Proof.
  intros.

当我试图证明加上n＝SUCN时，我陷入了中间，不知道如何证明。 代码如下：

Definition succ (n : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).

Definition plus (n m : nat) : nat :=
fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => (n X f (m X f x)).

Theorem plus_succ: forall (n : nat),
  plus n one = succ n.
Proof.
  intros.

1子目标 n:纳特 ______________________________________(1/1) 加n一=成功n

我没有办法做倒装或者任何其他战术…（我是Coq的新手，到目前为止我已经学会了列表、保利、归纳和战术）

这让我想到，我上面定义的一个、两个或所有定义都不准确。

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如果有人能帮我或给我一些提示，我将不胜感激！谢谢

在Coq中使用教堂编码本身并不是一个坏主意，但你将无法对这种类型的居民说太多（除了像你那样构建一些居民之外）

第一个问题是，这种Church编码的居民是函数，只有当两个函数计算到相同的值（直到展开、beta缩减、匹配缩减和修复）时，你才能证明它们在纯Coq中是相等的。 这不是

加n one

和

succn

的情况：您在lhs

funxfx=>f（nxfx）

和rhs

funxfx=>nxf（fx）

。您希望证明的是

对于所有（X:type）（f:X->X）（X:X），f（nxfx）=nxf（fx）

，然后您需要使用

函数可扩展性

，这是一条公理，说明函数之间的相等性是由函数在其域的每个点上的值决定的（有关这一点的更多详细信息，请参见stdlib中的

Coq.Logic.FunctionalExtensionity

）。这一公理经常被假设，但也不是无辜的（例如，它会阻止计算）

您将遇到的第二个问题是，您希望

nat=forall X，（X->X）的居民->X->X

在它们的第一个参数

X:Type

中是参数化函数，但实际上并没有什么强制要求。事实上，如果假设附加公理，例如在纯Coq（没有任何公理）中排除中间，则可以构造非参数居民，Bernardy和Lasson的结果表明，事实上，你的类型

nat

的所有居民都是参数化的，但是你不能将这个结果内化。没有参数化，你就没有子弹来证明方程，比如

f（nxfx）=nxf（fx）

所以你的麻烦来自这两个问题：

在没有函数可扩展性的情况下，可以证明的函数之间的相等性非常有限，并且

在纯Coq中，您无法在内部表示类型的量化是参数化的

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如果您想了解更多关于参数化的这些问题，以及使用Church编码（或其变体）仍然可以实现的功能，我建议您看看Chlipala。

特别是，我认为OP需要

功能性_扩展性_dep

，因为

X:Type

参数。