Language agnostic 函数的重复应用

阅读问题让我思考：对于给定的函数

f

，我们如何知道这种形式的循环：

while (x > 2)
   x = f(x)

是否会因任何值

x

而停止？是否有一些简单的标准

（事实上，

f（x）

对于

x>2

似乎没有帮助，因为序列可能会收敛）

---

具体地说，我们能为

sqrt

和

log

证明这一点吗？

对于这些函数，证明

ceil（f（x））2

就足够了。你可以做一次迭代——得到一个整数，然后进行简单的归纳

对于一般情况，最好的办法可能是用它来证明这个属性。然而，正如白痴在评论中指出的那样，这在一般情况下是不可能的，而且在许多情况下，很难找到正确的顺序

编辑，作为对阿姆农评论的回复：

如果你想使用有根据的归纳法，你必须定义另一个严格的顺序，这是有根据的。对于您提到的函数，这并不难：您可以选择

x
（f（x）2的事实似乎没有帮助，因为序列可能会收敛）

如果我们在这里谈论浮动，那不是真的。如果对于所有
x>n
f（x）
严格小于
x
，它将在某个点达到
n
（因为任意两个数字之间的浮点值数量有限）

当然，这意味着您需要使用浮点运算证明
f（x）
实际上小于
x
（即，从数学上证明它小于x是不够的，因为当差值不够时，
f（x）=x
对于浮点仍然是真的）.
没有通用算法来确定函数
f
和变量
x
是否在该循环中结束。停顿问题可以归结为那个问题

对于
sqrt
和
log
，我们可以安全地这样做，因为我们碰巧知道这些函数的数学性质。比如说，
sqrt
接近1，
log
最终变成负值。因此，条件
x<2
在某个点必须为false

希望这能有所帮助。
有一个关于迭代序列何时收敛的一般定理。（收敛序列可能不会在有限的步数内停止，但它正在接近目标。通过在序列中走得足够远，可以尽可能接近目标。）

序列x，f（x），f（f（x））。。。如果f是压缩映射，则将收敛。也就是说，存在一个正常数k＜1，对于一般情况下，对于所有x和y，f（x）-f（y）＞p>，可以说，当遇到席时，环将终止。≤2.这并不意味着序列会收敛，甚至也不意味着它在2以下有界。这只意味着序列包含的值不大于2

也就是说，任何包含收敛到严格小于2的值的子序列的序列（最终）都将停止。序列xi+1=sqrt（xi）就是这种情况，因为x收敛到1。在yi+1=log（yi）的情况下，在R的元素未定义之前，它将包含小于2的值（虽然它在扩展复平面C*上定义得很好，但我认为它通常不会收敛，除非在可能存在的任何稳定点（即z=log（z））处）。最终，这意味着您需要对序列进行一些前期分析，以更好地了解其行为

 < P>序列Xi收敛到Z点的标准检验是给出ε＞0，n为所有i＞n，即席席z＜ε。
作为一个旁侧，考虑m中的一个特定点C在m中的测试是序列Zi+1＝Zi2+C是否无界，每当有子子＞2时都出现，M的一些元素可能收敛（如0），但许多不收敛（如-1）。.
当然。对于所有正数
x
，以下不等式成立：

 log(x) <= x - 1

对于所有正
x

如果你问这个结果是否适用于实际的程序，而不是数学上的，答案会有一点细微差别，但不会太多。基本上，许多语言实际上对
log
函数没有严格的精度要求，因此如果你的特定语言实现有一个绝对糟糕的数学库，那么这个问题就解决了属性可能无法保存。也就是说，它需要是一个非常非常糟糕的库；对于
log
的任何合理实现，此属性都可以保存。我建议阅读提供有用指针的内容。如果没有关于f的其他知识，什么都不能说。
为什么
f（x）
帮助？如果这个不等式适用于所有
x>=2
我认为很明显，循环最终会终止。它适用于
sqrt
和
log
@IVlad，这是不够的。例如，
f（x）=sqrt（x-2）+2
，该属性适用于每个
x>2
，但级数收敛到2，从未真正达到它。@IVlad:他说的是函数每一步都接近2，但从未真正达到它。如
f（x）=2+1/x
。当然，如果你使用浮点数
1/x
对于足够大的
x
，那么浮点数就不存在这样的序列。是的，我在考虑浮点数。是的，我有点忘记了浮点数。然后，有时候，需要任意精度的数字——这是不够的。此外，当考虑到非常小的数字时，浮点算法也有其特殊性，因此可能很难建立证明。问题不是关于实现这一点的算法方法。事实上，您可能会发现很难对函数
f
和t进行编码
sqrt(x) <= x/(2 sqrt(2)) + 1/sqrt(2)