Math 通过在N个顺时针点上形成三角形来计算配置的总数

在顺时针方向的圆圈中，有编号为1到N的N个固定点。 我们希望通过选择任意三个点来创建三角形

我们可以创建尽可能多的三角形，但没有两个三角形应该相互交叉，一个点只能共享一个三角形。所以有多少这样的配置是可能的？

例如，假设有10点：

• 点1、2、3可以创建一个三角形，如果只存在该三角形，则它将是一个配置
• 只有三角形（2,3,4）是其他配置
• 三角形（1,2,3）和（4,5,6）将形成其他配置
• （2,4,5）也可以是三角形
• （2,4,5）和（1,3,6）不能是一个配置，因为两个圆将相互交叉

我可以部分解决：

• 对于一个三角形，我们可以用nC3方法选择任意三个点并创建一个三角形
• 对于两个三角形，我们可以选择nC6方式中的任意六个点，并可以以3种方式形成两个三角形

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我无法解决更多三角形的问题。

出于以下考虑，我也希望将“根本没有三角形”视为有效配置。你可以在最后减去一来摆脱它

所以，递归地思考这个问题。给定n个点，有两个选项：要么选择“根本没有三角形”并返回，要么选择三个点形成一个三角形，然后递归。如果你有三个角，它们会把你的圆分成三个范围。所有后续三角形都必须具有来自单个范围的角，否则它们将重叠。如果将它们限制在其中一个范围内，它们将不会与第一个三角形相交。对于递归，您可以将这些范围中的每一个都视为一个小圆圈（自己检查关于交点的陈述是否仍然有效）

好的，上面将生成所有可能的三角形有序序列。如果你不在乎秩序，你必须设法消除它。一种可能是将每个计数除以n！其中n是最终生成的三角形数。另一种方法是确定三角形的完整顺序（即按最小角点索引排序），并确保递归不会生成比以前选择的三角形更小的三角形

有了这些想法，您应该能够编写一个小脚本来枚举几个点的三角形配置。您甚至可以手动检查一些案例。也许有这样的剧本就足够了。如果没有，您可以将该序列（由于“根本没有三角形”而带有或不带有偏移量）馈送给您，并查看它们是否为您提供了公式。或者自己找一个，可能是在一个医生的帮助下。如果其他一切都失败了，你可能想把这个带到医院

编辑：
除非我在实现自己的小脚本时出错，否则您要求的序列，包括“根本没有三角形”实例，都是错误的。还有一个公式。我使用以下一段python代码生成了该序列：

c=[1,1,1]
对于范围（3,30）内的n：
s=1
对于范围（0，n-2）内的i1：
对于范围内的i2（i1+1，n-1）：
对于范围内的i3（i2+1，n）：
s+=c[i2-i1-1]*c[i3-i2-1]*c[n-i3-1]
断言len（c）==n
c、 附加
印刷品

我没有想到递归。我试试看。