Math 从线性规划中消除冗余方程

我被要求用一个无方程来重新编写这个线性规划问题

MAX 7X1+5X2

科技部：

4X1+3X2=0

---

我所做的是使用单纯形法，我发现最大利润是4030，X1=100，X2=666。我能用它来表示最大的利润，x1总是100，那么第三个方程是额外的< /代码>？/p> < p>因为我们只考虑一个简单的二维问题，我们可以用图形来解决这个问题。首先注意，目标函数的梯度是

∇f_obj = (7, 5)

从这几点开始，我们将用

x

表示变量

X1

，用

y

表示变量

X2

约束在下面描述了多面体

（a）

，目标函数的水平曲线在

（b）

（更亮的轮廓：增加的目标函数值）中给出

最佳值由上面

（b）

中的红点标记，

（x^*，y^*）=（262.5450）

很明显，不等式约束（4x+3y=100）不是活动的，因此是多余的

[1] 2x1 + 0.5x2 ≤ 750 [2] 2x1 + 0.5x2 ≤ 4500 / 6 [3] 6 * (2x1 + 0.5x2) ≤ 4500 [4] 12x1 + 3x2 ≤ 4500 [5] 12x1 + 3x2 ≤ 4500 - 4x1 + 3x2 ≤ 2400 --------------------- 8x1 ≤ 2100 [6] x1 ≥ 2100 / 8 [7] x1 ≥ 262,5 [1] 2x1+0.5x2≤ 750 [2] 2x1+0.5x2≤ 4500/6 [3] 6*（2x1+0.5x2）≤ 4500 [4] 12x1+3x2≤ 4500 [5] 12x1+3x2≤ 4500 -4x1+3x2≤ 2400 --------------------- 8x1≤ 2100 [6] x1≥ 2100/8 [7] x1≥ 262,5 步骤[2]中的6表示第一个约束中的

3x2

大于第二个约束中的

0.5x2

的次数，简而言之，

3x2/0.5x2=6

---

因此，可以消除第三个约束

x1>=100

，因为实际上，x1必须大于或等于262,5，考虑到第四个约束

x1，x2>=0

好的，所以答案如下：-

X1>=100。X1-100>=0 X1-100=y

或X1=y+100 在前两个方程式中，将X1替换为（y+100）。将非负性方程中的X1替换为y，删除第三个方程

---

.

我无法删除非负性方程。我不这么认为，因为我们不知道X2的值。我尝试了很多方法，但似乎最后我得到了很多不同的答案。是的，我得到了，但在问题中，我被要求不要触及非消极性约束。对不起，我忘了在上面提这个问题了。在这种情况下，我能说既然x1=262.5，那么x1>100就是redun吗。？我穿着它，上面写着禁止触摸非负片。等式..@Zok：因为我们有一个线性规划，最优值总是在由我们的规划约束定义的多形的一个极值点上。由于LP:s始终是凸的，并且我们正在考虑一个最大化问题，所以只要每次遍历都沿目标函数的梯度方向移动，就可以通过遍历多面体的角来找到最佳极值点。从上面的水平曲线可以明显看出，对于正多面体中的任何点：梯度都远离边界

X1=100

。因此，

X1>=100

是多余的。@Zok很乐意帮忙！关于你的另一个问题：如果不坐下来处理完整的问题，拿一张纸和一支笔，我真的帮不了忙（单纯形迭代手工执行有点麻烦），我很快就要上床睡觉了。尝试在math.stackexchange.com上提问（包括问题和你的最佳尝试），纯数学问题更适合那里。祝你好运！在第5步之前（包括第5步）的分析只需计算两行

2x1+0.5x2=750

和

4x1+3x2=2400的
x1
交叉值。但是，您不能从步骤[5]转到步骤[6]（更改符号？）。请注意，允许使用大于或小于
x1=262.5
的值（请参见上面我的答案中可行区域的多面体）。此外，请注意，如果不在分析中包含目标函数，则无法推断约束
x1>=100
是多余的。如果是，例如obj。函数是
f（x1，x2）=-7x1-5x2
，那么约束
x1>=100
是非常相关的。坦率地说，这是不正确的。如果不考虑目标函数，则无法推断约束
X1>=100
是冗余的。例如，如果目标函数是
f（X1，X2）=-7X1-5X2
，那么约束
X1>=100
。唯一真正冗余的约束（对问题可行区域的w.r.t，而不是目标函数的梯度方向的w.r.t）是
X1>=0
：此约束永远不会激活（或需要），因为
X1>=100
确保默认情况下前者为真。
[1] 2x1 + 0.5x2 ≤ 750  
[2] 2x1 + 0.5x2 ≤ 4500 / 6
[3] 6 * (2x1 + 0.5x2) ≤ 4500
[4] 12x1 + 3x2 ≤ 4500
[5]
    12x1 + 3x2 ≤ 4500
 -   4x1 + 3x2 ≤ 2400
  ---------------------
     8x1 ≤ 2100
[6] x1 ≥ 2100 / 8
[7] x1 ≥ 262,5