Math 如何生成对非对角元素有约束的伪随机正定矩阵？

用户希望对var/covar矩阵中每对变量之间的相关性施加一个唯一的、非平凡的上/下界

例如：我想要一个方差矩阵，其中所有变量都有0.9>rho（x|I，x|j）>0.6，rho（x|I，x|j）是变量x|I和x|j之间的相关性

谢谢

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好吧，我们已经找到了一个快速而肮脏的解决方案，不过如果有人知道更准确的方法，我们还是欢迎的

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我丢失了我原来的登录名，所以我正在用新的登录名重新发布这个问题。 我得到了下面的答案

*你是说伪随机，这是半随机的正确术语——罗伯特·古尔德

*很好的观点，但我认为他的意思是半伪随机（伪随机是在谈论计算机随机性时假定的：-p）-fortran

*“相关性”是指“协方差”吗斯万特

*不，我是说相关性。我想生成一个正定矩阵，这样所有的关联都比平凡的界限更紧瓦克

*看看我的答案。您坚持样本相关性在指定的范围内，还是仅仅是生成样本的总体相关性？如果你的问题是前者，我确实提出了一个可行的想法木片

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*woodship：不，恐怕你的解决方案行不通，请在原始威胁中看到我的答案（上面的链接）。谢谢。

以下是您对我在原始帖子中回答的回复：

“来吧，伙计们，一定有更简单的事情”

对不起，没有。仅仅想中彩票是不够的。要求小熊队赢得系列赛是不够的。你也不能仅仅要求一道数学题的答案，然后突然发现它很容易

使用指定范围内的样本参数生成伪随机偏差的问题非常重要，至少在偏差在任何意义上都是真正的伪随机的情况下。取决于范围，一个人可能是幸运的。我提出了一个拒绝方案，但也表示这不太可能是一个好的解决方案。如果相关性有很多维度和很窄的范围，那么成功的概率很低。同样重要的是样本量，因为这将驱动产生相关性的样本方差

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如果你真的想要一个解决方案，你需要坐下来，明确而准确地指定你的目标。您是否希望随机样本具有名义上指定的相关结构，但对相关有严格的限制？任何满足目标界限的样本相关矩阵都是令人满意的吗？是否也给出了差异？

也许这个答案将有助于操作它：

一类具有非负确定性性质的矩阵是。以及~W（）中的样本，这样所有非对角项都在某个界限[l，u]之间，这将符合您的问题。然而，我不相信这和所有非对角正定矩阵在[l，u]中的分布是一样的

在wikipedia页面上有一个从~W（）计算的算法

一个更简单的、黑客式的解决方案（可能近似于此）是：

（假设u>l且l>0）

从多元正态分布中得出，其中σ=平均值（l，u）

然后取样本，计算其相关矩阵=>C

这个矩阵会有一些随机性（模糊性），但它会有多少模糊性的数学计算有点超出我的能力范围。此C矩阵中的off diag值以[-1,1]为界，平均值为（l，u）。肉眼看来，我在猜测某种beta/指数。在任何情况下，C中的off diag的连续分布保证它不会在边界（l，u）内运行，除非（l，u）=[-1,1]

您可以通过在步骤1中增加/减少样本长度来调整“模糊”的数量。我打赌（未经证实）C的奇数诊断中的方差量与样本数的平方根成正比 因此，这似乎不是琐碎的真正的答案

正如其他海报所建议的，您可以从Wishart生成，然后将这些海报保留在您想要的属性为真的地方，但您可能需要长时间采样！如果排除那些0-定的（这是一个词吗？），那么这对于生成好的矩阵应该很好。然而，这并不是所有pos def矩阵的真实分布，这些矩阵的off diag在[l，u]中

上述哑抽样方案的代码（R）

sigma1 <- function(n,sigma) {
    out <- matrix(sigma,n,n)
    diag(out) <- 1
    return (out)
}

library(mvtnorm)
sample_around_sigma <- function(size, upper,lower, tight=500) {
    #  size:  size of matrix
    #  upper, lower:  bounds on the corr, should be > 0
    #  tight:  number of samples to use.  ideally this
    #     would be calcuated such that the odd-diags will
    #     be "pretty likely" to fall in [lower,upper]
    sigma <- sigma1(size,mean(c(upper,lower)))
    means <- 0*1:size
    samples <- rmvnorm(n=tight, mean=means,sigma=sigma)
    return (cor(samples))
}

> A <- sample_around_sigma(5, .3,.5)
> A
          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]
[1,] 1.0000000 0.3806354 0.3878336 0.3926565 0.4080125
[2,] 0.3806354 1.0000000 0.4028188 0.4366342 0.3801593
[3,] 0.3878336 0.4028188 1.0000000 0.4085453 0.3814716
[4,] 0.3926565 0.4366342 0.4085453 1.0000000 0.3677547
[5,] 0.4080125 0.3801593 0.3814716 0.3677547 1.0000000
> 
> summary(A[lower.tri(A)]); var(A[lower.tri(A)])
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.3678  0.3808  0.3902  0.3947  0.4067  0.4366 
[1] 0.0003949876

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sigma1好了，太棒了格雷格：我们有进展了。将您的想法与木片的想法结合起来，可以产生这种替代方法。从数学上讲，它非常脏，但似乎有效：

library(MCMCpack)
library(MASS)
p<-10
lb<-.6
ub<-.8
zupa<-function(theta){
    ac<-matrix(theta,p,p)
    fe<-rwish(100*p,ac%*%t(ac))
    det(fe)
}
ba<-optim(runif(p^2,-10,-5),zupa,control=list(maxit=10))
ac<-matrix(ba$par,p,p)
fe<-rwish(100*p,ac%*%t(ac))
me<-mvrnorm(p+1,rep(0,p),fe)
A<-cor(me)
bofi<-sqrt(diag(var(me)))%*%t(sqrt((diag(var(me)))))
va<-A[lower.tri(A)]
l1=100
while(l1>0){
    r1<-which(va>ub)
    l1<-length(r1)
    va[r1]<-va[r1]*.9
}
A[lower.tri(A)]<-va
A[upper.tri(A)]<-va
vari<-bofi*A
mk<-mvrnorm(10*p,rep(0,p),vari)
pc<-sign(runif(p,-1,1))
mf<-sweep(mk,2,pc,"*")
B<-cor(mf)
summary(abs(B[lower.tri(B)]))

库（MCMCpack）
图书馆（弥撒）
p您可以创建一组大小为M、单位方差的N个随机向量。然后将一个随机向量（大小N和单位方差）乘以某个数字k。
然后取所有向量之间的相关性，这将是一个正定矩阵。如果M非常大，则相关性分布中不会出现方差，相关性为：k^2/（1+k^2）。M越小，非对角元素的分布越宽。
或者，您可以让M非常大，并将“公共向量”分别乘以不同的k。如果正确使用这些参数，您可能会得到更严格的控制。下面是一些Matlab代码：

clear all;
vecLarg=10;
theDim=1000;
corrDist=0*randn(theDim,1);
Baux=randn(vecLarg,theDim)+  (corrDist*randn(1,vecLarg))'+(k*ones(theDim,1)*randn(1,vecLarg))'  ;
A=corrcoef(Baux);
hist(A(:),100);

Woodchips，非常感谢您的投入。请允许我澄清一下，你从我的回答中引用的内容是关于你在文章末尾提出的QP方法，而不是拒绝方案。你提出的拒绝方案有点棘手b/c我不确定在对特征值施加什么影响之前（除了明显的事实，它们应该是正的），有什么想法吗？TiaPS:Woodship，可以说，我对您原始输入的回答包含m