Mathematica如何创建插值函数对象？

Mathematica如何创建插值函数对象？例如：

test1 = FunctionInterpolation[Sin[x],{x,0,2*Pi}]

test1的完整形式很长，但主要是x值，带有 对应的y值。但是，插值不是线性的 （因为我没有设置插值顺序->1）

我知道Mathematica使用三次样条曲线，部分原因是默认的 插值顺序为3，但也因为：

Plot[D[test1[t],t,t,t,t] /. t->x, {x,0,2*Pi}]

表示四阶导数一致为0

那么，Mathematica如何计算这个三次样条曲线呢

我的目标是在Perl中使用FunctionInterpolation对象

编辑：谢谢你，萨沙！那正是我想要的，有一个辅修 差错下面是我在一个例子中重新实现Hermite插值的尝试 易于转换为Perl的方式（也可在 )

问题是：最后3个图的值很小，但不是零值。我不能 告诉我我是否实现了Hermite错误，或者这只是一个数字 小故障

(* the Hermite <h>(not Hermione)</h> polynomials *) 

h00[t_] = (1+2*t)*(1-t)^2 
h10[t_] = t*(1-t)^2 
h01[t_] = t^2*(3-2*t) 
h11[t_] = t^2*(t-1) 

(* 

This confirms my understanding of InterpolatingFunction by calculating 
the value in a different, Perl-friendly, way; this probably does NOT 
work for all InterpolatingFunction's, just the ones I'm using here. 

f = interpolating function, t = value to evaluate at 

*) 

altintfuncalc[f_, t_] := Module[ 
 {xvals, yvals, xint, tisin, tpos, m0, m1, p0, p1}, 

 (* figure out x values *) 
 xvals = Flatten[f[[3]]]; 

 (* and corresponding y values *) 
 yvals = Flatten[f[[4,3]]]; 

 (* and size of each x interval; there are many other ways to do this *) 
 (* <h>almost all of which are better than this?</h> *) 
 xint = (xvals[[-1]]-xvals[[1]])/(Length[xvals]-1); 

 (* for efficiency, all vars above this point should be cached *) 

 (* which interval is t in?; interval i = x[[i]],x[[i+1]] *) 
 tisin = Min[Max[Ceiling[(t-xvals[[1]])/xint],1],Length[xvals]-1]; 

 (* and the y values for this interval, using Hermite convention *) 
 p0 = yvals[[tisin]]; 
 p1 = yvals[[tisin+1]]; 

 (* what is t's position in this interval? *) 
 tpos = (t-xvals[[tisin]])/xint; 

 (* what are the slopes for the intervals immediately before/after this one? *) 
 (* we are assuming interval length of 1, so we do NOT divide by int *) 
 m0 = p0-yvals[[tisin-1]]; 
 m1 = yvals[[tisin+2]]-p1; 

 (* return the Hermite approximation *) 
 (* <h>Whoever wrote the wp article was thinking of w00t</h> *) 
 h00[tpos]*p0 + h10[tpos]*m0 + h01[tpos]*p1 + h11[tpos]*m1 
] 

(* test cases *) 

f1 = FunctionInterpolation[Sin[x],{x,0,2*Pi}] 
f2 = FunctionInterpolation[x^2,{x,0,10}] 
f3 = FunctionInterpolation[Exp[x],{x,0,10}] 

Plot[{altintfuncalc[f1,t] - f1[t]},{t,0,2*Pi}] 
Plot[{altintfuncalc[f2,t] - f2[t]},{t,0,10}] 
Plot[{altintfuncalc[f3,t] - f3[t]},{t,0,10}] 

（*赫敏（非赫敏）多项式*）
h00[t_]=（1+2*t）*（1-t）^2
h10[t_]=t*（1-t）^2
h01[t_u3;]=t^2*（3-2*t）
h11[t_]=t^2*（t-1）
(* 
这证实了我对插值函数的理解
以一种不同的、对Perl友好的方式创建值；这可能不是
适用于所有插值函数，仅适用于我在这里使用的插值函数。
f=插值函数，t=要计算的值
*) 
AltinTuncalc[f_uu，t_u]：=模块[
{xvals，yvals，xint，tisin，tpos，m0，m1，p0，p1}，
（*算出x值*）
xVAL=展平[f[[3]]；
（*和相应的y值*）
yvals=变平[f[[4,3]]；
（*和每个x间隔的大小；有许多其他方法可以做到这一点*）
（*几乎所有这些都比这个好？*）
xint=（xVAL[[1]]-xVAL[[1]]）/（长度[xVAL]-1）；
（*为了提高效率，应缓存高于此点的所有变量*）
（*哪个区间是t英寸？；区间i=x[[i]]，x[[i+1]]*）
tisin=Min[Max[Ceiling[（t-xvals[[1]]）/xint]，1]，长度[xvals]-1]；
（*和该间隔的y值，使用Hermite约定*）
p0=yvals[[tisin]]；
p1=yvals[[tisin+1]]；
（*t在此间隔内的位置是什么？*）
tpos=（t-xvals[[tisin]]）/xint；
（*在此之前/之后间隔的斜率是多少？*）
（*我们假设区间长度为1，因此不除以int*）
m0=p0 yvals[[tisin-1]]；
m1=yvals[[tisin+2]]-p1；
（*返回Hermite近似值*）
（*写wp文章的人想到的是w00t*）
h00[tpos]*p0+h10[tpos]*m0+h01[tpos]*p1+h11[tpos]*m1
] 
（*测试用例*）
f1=函数插值[Sin[x]，{x，0,2*Pi}]
f2=函数插值[x^2，{x，0,10}]
f3=函数插值[Exp[x]，{x，0,10}]
图[{altintfuncalc[f1，t]-f1[t]}，{t，0,2*Pi}]
图[{altintfuncalc[f2，t]-f2[t]}，{t，0,10}]
图[{altintfuncalc[f3，t]-f3[t]}，{t，0,10}]

通常它使用分段。不过，我不确定节点的选择。他们似乎是在整个时间间隔内被统一选择的。我确信在假设平滑函数的情况下，对于要求精度的区间下限会有结果，但我没有详细信息。

可能是默认使用了Hermite插值（而不是样条曲线），至少插值[]就是这样做的