Math 展开三维凸多边形

我有一个由点和三角形组成的凸多面体（三角形的法线在多边形之外）：

输入结构为：

class Vector {
  float X, Y, Z;
};
class Triangle {
  int pointIndexes[3];
  Vector normal;
};
class Polyhedron{
  vector<Vector> points;
  vector<Triangle> triangles;
};

类向量{
浮动X，Y，Z；
};
阶级三角{
int点索引[3]；
向量正态分布；
};
类多面体{
矢量点；
矢量三角形；
};

我想通过沿三角形法线移动一定距离来扩展多边形。 如何计算性能良好的移动点的新三维坐标

=>我在O（n^3）中有一个实现：我沿着法线移动所有平面（三角形），然后通过测试所有平面的交点（3个不平行的平面给出一个交点）找到所有点。此解决方案可以工作，但会产生非常糟糕的性能结果

---

=>我还尝试将该点按顺序移动到他所附着三角形的所有法线，但没有给出正确的结果。

我很好奇，所以我尝试在C++中编写此代码。以下是一些见解：

结构

struct\u pnt
{
int i0，i1，i2；//相邻三角形（非平行）
双位置[3]；//位置
_pnt（）{}
_pnt（_pnt&a）{*this=a；}
~\u pnt（）{}
_pnt*运算符=（常量pnt*a）{*this=*a；返回this；}
//_pnt*运算符=（常量pnt&a）{…复制…返回此；}
};
结构工厂
{
int i0，i1，i2；//三角形
双nor[3]；//正常
双中点[3]，d；//中点x，y，z和法线d
_fac（）{}
_fac（_fac&a）{*this=a；}
~\u fac（）{}
_fac*运算符=（常量fac*a）{*this=*a；返回this；}
//_fac*运算符=（常量fac&a）{…复制…返回此；}
};

因此，我在每个点上添加了3个相邻非平行三角形的索引

i0、i1、i2

。我还添加了每个三角形的

mid

点和

d

法线偏移，以加快计算速度，但这两个都可以在需要时进行计算，因此不需要将它们添加到网格本身

预计算

因此，您需要为每个采用

O（n）

的面预先计算

nor、d、mid

，假设

n

三角形和

m

点。每个点的邻接指数都是在

O（m）

中计算的，所以整个过程就是

O（n+m）

邻接指数的计算很容易首先清除所有点的

i0，i1，i2

。然后循环遍历所有面，如果法线少于3条且没有法线与之平行，则为每个面将其索引添加到其每个点

偏移量

现在只需通过对所有面重新计算

d

，通过

normal*offset\u步骤对
mid
点进行偏移即可完成偏移。之后，你们循环通过所有的点，并计算你们得到的3个平面的交点。这也是O（n+m）

我懒得推导求交方程，所以我用了3x3逆矩阵。由于我的矩阵是4x4，最后一行和最后一列未使用。注意我的矩阵像OpenGL一样，所以它们是转置的。。。这就是法线被如此奇怪地加载到其中的原因

<强>这里我的C++源：< /强>

//---------------------------------------------------------------------------
结构
{
int i0，i1，i2；//相邻三角形（非平行）
双位置[3]；//位置
_pnt（）{}
_pnt（_pnt&a）{*this=a；}
~\u pnt（）{}
_pnt*运算符=（常量pnt*a）{*this=*a；返回this；}
//_pnt*运算符=（常量pnt&a）{…复制…返回此；}
};
//---------------------------------------------------------------------------
结构工厂
{
int i0，i1，i2；//三角形
双nor[3]；//正常
双中点[3]，d；//中点x，y，z和法线d
_fac（）{}
_fac（_fac&a）{*this=a；}
~\u fac（）{}
_fac*运算符=（常量fac*a）{*this=*a；返回this；}
//_fac*运算符=（常量fac&a）{…复制…返回此；}
};
//---------------------------------------------------------------------------
类网格
{
公众：
列表pnt；
列表fac；
网格（）{}
网格（网格&a）{*this=a；}
~mesh（）{}
mesh*运算符=（常量mesh*a）{*this=*a；返回this；}
//mesh*运算符=（常量mesh&a）{…复制…返回此；}
void二十面体（双r）//半径为r的二十面体的初始网格
{
//要点
双a=r*0.525731112119133606；
双b=r*0.850650883520392；
_pnt p；p.i0=-1；p.i1=-1；p.i2=-1；pnt.num=0；
向量（p.pos，-a，0.0，b）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，a，0.0，b）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，-a，0.0，-b）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，a，0.0，-b）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，0.0，b，a）；pnt.add（p）；
向量ld（p.pos，0.0，b，-a）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，0.0，-b，a）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，0.0，-b，-a）；pnt.add（p）；
向量（p.pos，b，a，0.0）；pnt.add（p）；
向量ld（p.pos，-b，a，0.0）；pnt.add（p）；
向量ld（p.pos，b，-a，0.0）；pnt.add（p）；
向量ld（p.pos，-b，-a，0.0）；pnt.add（p）；
//三角形
_fac f；fac.num=0；向量（f.nor，0.0,0.0）；
f、 i0=0；f.i1=4；f.i2=1；因子加（f）；
f、 i0=0；f.i1=9；f.i2=4；因子加（f）；
f、 i0=9；f.i1=5；f.i2=4；因子加（f）；
f、 i0=4；f.i1=5；f.i2=8；因子加（f）；
f、 i0=4；f.i1=8；f.i2=1；因子加（f）；
f、 i0=8；f.i1=10；f.i2=1；因子加（f）；
f、 i0=8；f.i1=3；f.i2=10；因子加（f）；
f、 i0=5；f.i1=3；f.i2=8；因子加（f）；
f、 i0=5；f.i1=2；f.i2=3；因子加（f）；
f、 i0=2；f.i1=7；f.i2=3；因子加（f）；
f、 i0=7；f.i1=10；f.i2=3；因子加（f）；
f、 i0=7；f.i1=6；f.i2=10；因子加（f）；
f、 i0=7；f.i1=11；f.i2=6；因子加（f）；
f、 i0=11；f.i1=0；f.i2=6；因子加（f）；
f、 i0=0；f.i1=1；f.i2=6；因子加（f）；
f、 i0=