Algorithm 多项式求根二分法

如果我用二分法求多项式的根，在某些情况下，根据多项式的不同，根可能是负的，也可能是正的

我知道我可以根据多项式的求值结果来确定根是负的还是正的。。。然而，我不确定我会用什么作为x

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有人能给出一些见解吗？

根可以是负的，也可以是正的，这与二分法无关。根的存在可以用微积分中的公式来证明

所以你所要做的就是找到点

x1

和

x2

，这样

y（x1）

是负的，

y（x2）

是正的。然后从IVT中知道

x1

和

x2

之间有一个根。您可以通过在该时间间隔上进行二进制搜索来实现这一点。如果

y（x3）=y（（x1+x2）/2）

为负，则在间隔

[x3，x2]

上重复对分搜索。否则，如果为正值，则搜索间隔

[x1，x3]

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根是负是正并不重要。我不确定这是否回答了您的问题，但我希望这有助于您理解算法。

许多根查找器允许用户提供一个或多个开始搜索的点。这允许用户尝试“摆弄”结果以找到不同的根，或者允许查找器收敛到根

如果允许用户提供起始值是没有意义的，您可以从探测几个点开始：

• -1,0,1
• -10,0,10
• -100，0，100
• 等等

如果输入是一个奇数多项式，这将最终发现一个合适的二分法范围。如果输入是一个偶数多项式，那么您可能永远不会捕捉到符号变化（考虑f（x）=x^2——它永远不会是负数），因此在经过一定量的（可配置的？）探测后，请准备放弃

我建议把范围扩大10倍；由于二分法每次都将范围减半，这可能太保守了。（需要两到三次对分迭代才能将范围缩小到下一个“更紧”的括号中。）可能更好的方法是更大的跳跃：

• -10,0,1
• -1000，0，1000
• -10万，0，10万
• 等等

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这将执行更少的探测，但需要更多的二分法。尝试一些多项式，并跟踪执行时间，以找到两个建议的根。

为了使用对分算法，首先需要找到一个包含根的区间。中给出了这方面的标准算法

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然而，标准的对分算法期望端点中函数值的符号不同。这可能是个问题。最简单的例子是x^2，它的单根0的阶数为2。由于x^2对于所有非零x都是正的，因此您无法找到一个包含根的区间，该区间适用于二分法。

您可能会发现这很有帮助

使用制度

名称空间二分法

{

类程序
{
公共双中点（双xl，双xu）
{
返回（xl+xu）/2；
}
公共双功能（双x）
{
返回（x*x-2）；
}
静态void Main（字符串[]参数）
{
程序根=新程序（）；
双xm=0，xl=1，xu=2，check=0；
对于（int x=0；x<20；x++）
{
xm=（xl+xu）/2；
检查=根函数（xl）*根函数（xm）；
如果（检查<0）
xu=xm；
否则如果（检查>0）
xl=xm；
否则如果（检查==0）
{
打破
}
}
WriteLine（“根的近似值为{0}”，xm）；
}
}

}

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这类问题听起来更适合Math.SE，甚至SciComp.SE。当然，并非所有多项式都有（实）根；e、 g.，1+x^2。还有一些具有实根的多项式（例如x^2）永远不会改变符号。通常不建议使用仅链接的答案。仅链接的答案很脆弱，因为链接可能会断开。请详细说明链接。这是完整的程序！

class Program

{

    public double midPoint (double xl, double xu)

{

    return (xl + xu) / 2;

}

    public double function(double x)

    {

        return (x*x-2);

    }

    static void Main(string[] args)

    {

        Program root = new Program();

        double xm=0, xl=1, xu=2, check=0;

        for (int x = 0; x < 20; x++)

        {

            xm = (xl + xu) / 2;

            check = root.function(xl) * root.function(xm);

            if (check < 0)

                xu = xm;

            else if (check > 0)

                xl = xm;

            else if (check == 0)

            {

                break;

            }

        }

        Console.WriteLine("The Approximate of the Root is {0}", xm);

    }

}