Coq Isabelle中带类型参数的归纳谓词

我开始学习Isabelle，想尝试在Isabelle中定义一个幺半群，但不知道如何定义

在Coq中，我会这样做：

inductive monoid :: "('a ⇒ 'a ⇒ 'a) ⇒ 'a ⇒ bool" for f i where
  axioms: "⟦f e i = e; f i e = e⟧ ⟹ monoid f i"

归纳幺半群（τ：型）（op:τ->τ->τ）（i:τ）：Prop:=
|公理：（forall（e:τ），op e i=e）->
（对于所有（e:τ），op i e=e）->
幺半群τopi。

我不知道如何在伊莎贝尔身上做同样的事情。从概念上讲，我想到了这样的事情：

inductive monoid :: "('a ⇒ 'a ⇒ 'a) ⇒ 'a ⇒ bool" for f i where
  axioms: "⟦f e i = e; f i e = e⟧ ⟹ monoid f i"

a幺半群（'a⇒ 'A.⇒ '（a）⇒ 'A.⇒ “bool”表示f i在哪里
公理：⟦f e i=e；f i e=e⟧ ⇒ 幺半群f i“

但是，这在伊莎贝尔身上是无效的

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如何在Isabelle中定义带类型化参数的归纳谓词？

我对Coq了解不多，但Isabelle的类型系统非常不同。Isabelle值不接受“类型参数”，Isabelle类型不接受“值参数”

在Isabelle中，您的示例是一个简单的多态定义，可以这样做：

inductive monoid :: "('a ⇒ 'a ⇒ 'a) ⇒ 'a ⇒ bool" for f i where
  axioms: "⟦f e i = e; f i e = e⟧ ⟹ monoid f i"

我必须指出，这意味着如果存在一个这样的

e

，那么就有一个幺半群。你可能想写的是

inductive monoid :: "('a ⇒ 'a ⇒ 'a) ⇒ 'a ⇒ bool" for f i where
  axioms: "⟦⋀e. f e i = e; ⋀e. f i e = e⟧ ⟹ monoid f i"

这里，

e

在假设中被普遍量化，这意味着法律必须适用于所有

e

，才能构成幺半群

作为归纳定义这样做是可能的，并且具有自动生成适当的引入/消除规则的优势（并且能够通过

归纳案例

生成更多规则）。但是，还有其他方法

使用定义 但是，您也可以将其写成一个简单的定义：

definition monoid :: "('a ⇒ 'a ⇒ 'a) ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "monoid f i = ((∀e. f e i = e) ∧ (∀e. f i e = e))"

这给出了

monoid

的定义，作为引理

monoid\u def

。如果您想要引入/排除规则，您必须自己推导它们

使用区域设置 第三种可能也是最合适的解决方案是locale。区域设置是在上下文中保留某些固定变量和假设，并在此上下文中保留原因的一种方式。下面的示例演示如何将幺半群定义为区域设置，在该区域设置中派生引理，然后将区域设置解释为具体的示例幺半群（即列表），并使用我们在区域设置中为它们证明的引理

locale monoid =
  fixes i :: 'a and f :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a"
  assumes left_neutral:  "f i e = e"
      and right_neutral: "f e i = e"
begin
  lemma neutral_unique_left:
    assumes "⋀e. f i' e = e"
    shows   "i' = i"
  proof-
    from right_neutral have "i' = f i' i" by simp
    also from assms have "f i' i = i" by simp
    finally show "i' = i" .
  qed
end

thm monoid.neutral_unique_left
(* Output: monoid i f ⟹ (⋀e. f i' e = e) ⟹ i' = i *)

(* Let's interpret our monoid for the type "'a list", with [] 
   as neutral element and concatenation (_ @ _) as the operation. *)
interpretation list_monoid: monoid "[]" "λxs ys. xs @ ys"
  by default simp_all

thm list_monoid.neutral_unique_left
(* Output: (⋀e. i' @ e = e) ⟹ i' = [] *)

使用类型类 第四种可能性类似于locale，它是类型类。Isabelle支持类型类（与Haskell中的类型类类似，尽管限制性更强），您可以创建一个

monoid

类型类，然后将其实例化为具体类型，如

nat

，

int

，

'a list

等

更多信息 有关归纳谓词、区域设置和类型类的更多信息，请参阅这些工具的文档：