Math Euler#211项目-效率问题

我一直在慢慢地研究ProjectEuler问题列表，我已经找到了一个我知道如何解决的问题，但似乎我不能（考虑到我的解决方案的编写方式）

我正在使用CommonLisp来实现这一点，我的脚本已经运行了超过24小时（远远超过了他们一分钟的目标）

为了简洁起见，以下是我的解决方案（这是一个扰流器，但前提是你有一个极快的处理器）：

（defun square？（num）
（如果（集成ERP（sqrt num））T）
（defun因子（num）
（让（（l’（）））
（do（（电流1（1+电流）））
（（>current（/num current）））
（如果（=0（模数当前））
（如果（=当前（/num当前））
（setf l（追加l（当前列表）））
（setf l（追加l（列出当前（/num current(()()())))）
（排序l#'<））
（第2（n）节）
（减少#'+（映射车（λ（x）（*x））（因子n）））
（定义和除数平方（限制）
（当（平方？（o_2 i））求和i时，i从1到极限的循环）
（defun euler-211（）
（和除数平方64000000）

使用更小、更友好的测试参数解决问题所需的时间似乎比指数增长的时间要长。。。这是一个真正的问题

花了：

• 0.007秒解算100
• 0.107秒解算1000
• 2.020秒解10000
• 56.61秒解算100000
• 1835.385秒为1000000解算
• 超过24小时解决64000000个问题

我真的想弄清楚脚本的哪一部分导致它花了这么长时间。我在记忆factors函数时花了一些心思，但我不知道如何实际实现它

对于那些想看看问题本身的人来说

任何关于如何使这件事进行得更快的想法都将不胜感激

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**很抱歉，如果这对任何人来说都是一个剧透，它不是注定的。。。。但是，如果您有足够的计算能力在相当长的时间内运行此程序，您将获得更大的能力。

对不起，我对LISP的理解不够透彻，无法阅读您的答案。但我的第一印象是，暴力解决方案的时间成本应该是：

开放式支架

sqrt（k）求k的除数（通过尝试除法），对每个除数求平方（每个因子的恒定时间），然后求和（每个因子的恒定时间）。这是σ2（k），我称之为x

加上

不确定一个好的整数平方根算法的复杂度是多少，但肯定不比sqrt（x）（哑试乘）差。x很可能比k大，所以我保留判断，但x显然是以k^3为界的，因为k最多有k个因子，每个因子本身不大于k，因此其平方不大于k^2。我已经很久没有拿到数学学位了，我不知道牛顿-拉斐逊的收敛速度有多快，但我怀疑它比sqrt（x）快，如果所有其他方法都失败的话，二元切分就是log（x）

闭式括号

乘以n（k的范围为1..n）

因此，如果你的算法在哑sqrt的情况下比O（n*sqrt（n^3））=O（n^（5/2）），或者在聪明的sqrt的情况下比O（n*（sqrt（n）+log（n^3））=O（n^3/2）差，我认为算法中出现了一些应该可以识别的错误。在这一点上，我被卡住了，因为我无法调试你的LISP

哦，我假设算术对于使用中的数字来说是常数时间。它很适合小到6400万的数字，并且它的立方体刚好适合一个64位无符号整数。但是即使您的LISP实现使算术比O（1）差，它也不应该比O（logn）差，所以它不会对复杂度有太大影响。当然不会使它成为超级多项式

这就是有人来告诉我我错了

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哎呀，我刚看了你的实际计时数据。它们并不比指数更糟糕。忽略第一个和最后一个值（因为小时间无法准确测量，而且你还没有分别完成），n乘以10乘以时间不超过30 ish。30大约是10^1.5，这对于上面描述的暴力来说是正确的。

我想你可以用一个像素筛一样的东西来解决这个问题。不过这只是我的第一印象。

我认为你的算法不是最有效的。提示：你可能是明星他从错误的方向出发

编辑：我想补充一点，选择64000000作为上限可能是问题海报告诉你要想更好的办法

编辑：一些效率提示：

• 而不是

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我会通过对数字进行素数分解（例如：300=2^2*3^1*5^2）来解决这个问题，这是一个相对快速的过程，特别是如果你通过筛选来生成它的话。由此，通过迭代I=0..2；j=0..1；k=0..2，再进行2^I*3^j*5^k来生成因子相对简单

5 3 2 ----- 0 0 0 = 1 0 0 1 = 2 0 0 2 = 4 0 1 0 = 3 0 1 1 = 6 0 1 2 = 12 1 0 0 = 5 1 0 1 = 10 1 0 2 = 20 1 1 0 = 15 1 1 1 = 30 1 1 2 = 60 2 0 0 = 25 2 0 1 = 50 2 0 2 = 100 2 1 0 = 75 2 1 1 = 150 2 1 2 = 300 5 3 2 ----- 0 0 0 = 1 0 0 1 = 2 0 0 2 = 4 0 1 0 = 3 0 1 1 = 6 0 1 2 = 12 1 0 0 = 5 1 0 1 = 10 1 0 2 = 20 1 1 0 = 15 1 1 1 = 30 1 1 2 = 60 2 0 0 = 25 2 0 1 = 50 2 0 2 = 100 2 1 0 = 75 2 1 1 = 150 2 1 2 = 300

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这可能不够快

这里有一个解决方案，要记住[Project]Euler的精神。[警告：扰流板。我已尝试将提示保持缓慢，以便您可以只阅读部分答案，如果需要，可以自己思考。]

当你面对一个与数字有关的问题时，一个好的策略（你可能已经从解决210个项目Euler问题中知道）是看一些小例子，找到一个模式，并证明它。[最后一部分可能是可选的，取决于您对数学的态度；-）]

但是，在这个问题中，看一些小例子——对于n=1,2,3,4，。。。可能不会给你任何提示。但在处理数论问题时，还有另一种意义上的“小例子”，你现在可能也知道了——素数是n的构造块 (setf l (append l (...))) (push (...) l) (do ((l ()) (current 1 (+ current 1))) ((> current (/ num current)) l) ...) 5 3 2 ----- 0 0 0 = 1 0 0 1 = 2 0 0 2 = 4 0 1 0 = 3 0 1 1 = 6 0 1 2 = 12 1 0 0 = 5 1 0 1 = 10 1 0 2 = 20 1 1 0 = 15 1 1 1 = 30 1 1 2 = 60 2 0 0 = 25 2 0 1 = 50 2 0 2 = 100 2 1 0 = 75 2 1 1 = 150 2 1 2 = 300

$ (factors 10) => (1 2 5 10)

$ (factors 10) => ((2 5) (1 10))

(defun o_2 (n)
"sum of squares of divisors"
  (reduce #'+ (mapcar (lambda (x) (* x x)) (reduce #'append (factors n)))))