Math E的检验逼近

MathWorld为

e

提供了一个简单的数值公式，据称前10^25位是正确的。它表示

e

大约为

(1 + 9^-4^(7*6))^3^2^85

知道如何检查这个公式是否正确吗，即使是前10位？ 这是另一种书写右边的方式

Power[Plus[1, Power[9, Times[-1, Power[4, Times[7, 6]]]]], Power[3, Power[2, 85]]]

---

重复记录日志是解决此类问题的一个很好的（通常）普遍适用的解决方案。对于这个问题，这里有一种更特殊的方法：回想一下e=lim（n->infinity，（1+1/n）^n）。因此，为了很好地逼近e，我们只需要9^（4^（42））（分数部分的分母）足够接近3^（2^（85））并且足够大

在这种情况下，它们是相同的，所以我们有n=3^（2^85），这将是一个非常好的近似值。这些数字很大，但并非不可行：

>>> from mpmath import *
>>> iv.dps = 50 # let's use interval arithmetic, just for fun
>>> x = mpi(9)**(-(4**(42)))
>>> up = (mpi(3)**(2**85))
>>> x
mpi('1.4846305545498656772753385085652043615636250118238876e-18457734525360901453873570', 
'1.4846305545498656772753385085652043615636250118238899e-18457734525360901453873570')
>>> 1/x
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154677854e+18457734525360901453873569', 
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> up
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154678005e+18457734525360901453873569', 
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> 0 in (1/x-up)
True

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算出e上的准确误差范围留给读者作为练习；-）--提示：将mathworld页面声称的精度数字与上述数字进行比较，并询问原因，考虑一系列近似值（1+1/1）^1，（1+1/2）^2等。

这个问题根本不需要Mathematica。首先，很容易证明

9^（4^（7*6））

完全等于

3^2^85

，因为

 9^(4^(7*6)) = 3^(2*4^(7*6)) = 3^(2^(1+2*(7*6))) = 3^2^85

然后，我们知道表示

e

的方法之一是限制

e = lim (1+1/n)^n, n->infinity

唯一的问题是，如果

n

非常大但有限，那么错误是什么。我们有

(1+1/n)^n = e^log((1+1/n)^n) = e^(n*log(1+1/n)) = e^(1-1/(2n)+O(1/n^2)) = e + O(1/n),

给定

n=3^2^85

，我们取

log（10，n）=2^85 log（10，3）~1.85*10^25

，我们得到一个估计值

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与引用的问题类似

您可能会得到更好的答案，因为前面已经回答了一个类似的问题——我不明白这如何证明前10^25位数字的正确性。除非这是你“作为练习留下的”。。。但是这不是家庭作业（我想），所以你应该试着回答这个问题。完整的论点是由Leonid Shifrin在我睡觉的时候给出的：^--正如我所指出的，近似级数（1+1/n）^n as n->无穷收敛到e。主要错误为1/n级（这是一个可以注意到的事实，当你看到上面列出的指数18457734525360901453873569，非常接近于所声称的正确数字18457734525360901453873570，这不可能是巧合。）