Algorithm 简化对数n/3i之和

我有以下等式：

W(n) = w(n/3) + lg(n)
W(1) = Theta(1)

我想找出它的时间复杂性。 它不能用主定理来解决（谁能证实），所以我只能用“手”来解决

如果我把它想象成一棵树，那么只有一棵

W（1）

，因为它只是把自己分成一部分，而不是几个部分

对于所有其他

n！=1

，我可以像求和一样写：

sum_{i=0}^{log3(n)-1}ln\frac{n}{3i}

我现在对这个问题的回答是：

w(n) = sum_{i=0}^{log3(n)-1}ln\frac{n}{3i}

我现在的问题是，我不知道如何简化这个总数

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有人能给我解释一下怎么做吗？替换

n=3^k

W(3^0) = 1
W(3^k) = W(3^(k-1)) + lg(3^k) = W(3^(k-1)) + lg(3)*k,

T(0) = 1
T(k) = T(k-1) + lg(3)*k.

替换

T（k）=W（3^k）

通过归纳法验证

T(k) = 1 + lg(3) * sum_{j=1}^k j = 1 + lg(3) * (k+1)*k/2.

撤消替换

W(n) = 1 + lg(3) * (log3(n)+1)*log3(n)/2 = 1 + (lg(n)/lg(3)+1)*lg(n)/2.

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它满足主定理

设

a=1

，

b=3

，和

f（n）=lg n

，这适用于

c=0

和

k=1

。因此，

w（n）=θ（lg^2n）

您可以分析您的最终金额：

w(n) = sum_{i=1}^{log3(n)-1}ln\frac{n}{3i}
= sum_{i=1}^{log3(n)-1}ln(n/3)-ln i
= (log3(n)-1)ln(n/3)-ln((log3(n)-1)!)
= Theta(ln^2(n))-Theta(ln((log3(n)-1)!)
= Theta(ln^2(n))-Theta((log3(n)-1)ln(log3(n)-1))
= Theta(ln^2(n))-Theta(ln n * ln(ln n))
= Theta(ln^2(n))

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1.在第3步中，如何计算总和？2.你只是写下等式必须通过归纳法来验证，你没有验证它，对吗？3.我的不简单的解决方案错了吗？@user1991779好吧，替换几次来观察

T（k）=T（k-1）+lg（3）*k=T（k-2）+lg（3）*（k-1）+lg（3）*k=…

，然后进行概括。@user1991779如果你说的

3i

是

3^i

，那么大约（你已经放弃了

W（1）

现场术语，在最终会计中并不重要）。谢谢！是的，应该是3^i。“算法简介3版”说如果f（n）=θ（n^（logb（a）），而不是θ（n^（logb（a）*log^k（n）），则步骤to有效！