Algorithm 两个矩阵的乘积为零

如果我有两个矩阵，一个是M X N，另一个是N X p，假设这些矩阵的乘积等于零，并且给定了矩阵N X p的值，我怎么能找到矩阵M X N的值呢

我知道其中一个可能的解决方案是零矩阵，但我实际上在寻找一个非零矩阵

谢谢

---

阿披舍克S

所以你在寻找

AB

成为

0

。诀窍是，如果它是0，那么对于任何可逆的

nxn

矩阵

C，D，E

，A C-1d-1e-1e-D C B也必须是

0

。（甚至更多。）

现在以

B

为例，应用基本行运算将其转化为（这相当容易做到）。这些运算中的每一个都可以通过一个可逆矩阵的乘法来表示，该矩阵的逆运算很容易计算（这只是反向行运算）

一旦我们有了行梯队形式的

B

，所有可能的矩阵

A

都很容易找到-每一列都有0，或者每一行中有一个以上的非零条目时，会产生另一个独立向量，该向量将给出0。现在选择你的

A

，然后乘以所有的逆行运算（确保按正确的顺序执行！）得出你的答案。

这称为。在您的情况下，顺序是相反的。这可以通过转置矩阵轻松解决：

A * B = 0
B^T * A^T = 0^T
A^T = M(Null(B^T))
A = M(Null(B^T))^T

其中

M（V）

是

V

的向量的任何线性组合的矩阵

示例：

    [ 4 4 8 ]
B = [ 2 7 2 ]
    [ 5 3 5 ]
    [ 7 5 4 ]

            { [  87 ] }
Null(B^T) = { [ -40 ] }
            { [-216 ] }
            { [ 116 ] }

A = [ 87  -40  -216  116 ]
    [  0    0     0    0 ]

A * B = [ 0 0 0 ]
        [ 0 0 0 ]

---

如果有一个非零解，我认为会有无限多的其他非零解。请查看我们的姐妹网站，了解您的纯数学问题。：）