Functional programming 如何替换假设'0<；d`with`S d'；`在Coq？

如何用Coq中的

sd'

替换假设

0

在Coq中，我有一个恼人的假设，

0

，我需要替换它来应用

euclid\u div\u succu\u定理

来证明

euclid\u div\u定理

我怎样才能把这些假设转换成正确的形式来应用这个定理呢

Theorem euclid_div_theorem :
  forall d : nat,
    0 < d -> 
    forall n : nat,
    exists q r : nat,
      n = q * d + r /\ r < d.

Theorem euclid_div_succ_d_theorem :
  forall d : nat,
  forall n : nat,
  exists q r : nat,
    n = q * (S d) + r /\ r < (S d).

定理欧几里得除法定理：
福尔d：纳特，
0
福尔n：纳特，
存在q r:nat，
n=q*d+r/\r

使用

Arith

模块中的标准引理，您可以将

0

更改为

exists m，d=S m

，这将（在销毁后）提供所需的结果

Require Import Arith.

Theorem euclid_div_theorem : forall d : nat,
    0 < d -> forall n : nat, exists q r : nat, n = q * d + r /\ r < d.
Proof.
  intros d H n.
  apply Nat.lt_neq, Nat.neq_sym, Nat.neq_0_r in H.
  destruct H; rewrite H.
  apply euclid_div_succ_d_theorem.
Qed.

这意味着我们需要从

0

中推断

d0

，因此再次

搜索（

）产生：

Nat.lt_neq: forall n m : nat, n < m -> n <> m

---

谢谢你，安东特鲁诺夫。这是其中一种情况，我知道在纸上做什么，但不能用Coq表达。我感谢你的支持。在证明另一个定理作为推论时，你如何引入一个蕴涵作为假设？我只知道assert。

pose-proof

或

specialize

类似于

assert

的工作。这取决于您的具体情况，什么最有效（或者完全可以应用）？然而，d可以是任何自然数。我需要用d'替换（sd），并引入d'>0？然而，我不知道如何表达这一点：（一种变体是将

sd

作为一个整体来处理，并通过apply gt\u Sn\u O使用

assert（sd>0）。

。

Nat.lt_neq: forall n m : nat, n < m -> n <> m

Nat.neq_sym: forall n m : nat, n <> m -> m <> n

not_eq_sym: forall (A : Type) (x y : A), x <> y -> y <> x

  intros d H n.
  destruct d.
  - inversion H.   (* H is a contradiction now: `0 < 0` *)
  - apply euclid_div_succ_d_theorem.