Math 如何在没有浮点运算或长整数计算的情况下计算floor（log2（5**x））

问题是，在没有浮点运算或长整数计算的情况下，我们如何计算floor（log2（5^x））的整数值？我在寻找一种简单、高效、数学上优雅的方法

意见： 公式仅为5**x（加1）中的位数

尝试： 我试图将其简化为： 楼层（x*log2（5））

在我的用例中，x不是非常大，可能只有1-100。虽然一个适用于小值的优雅公式就足够了，但我对一个适用于任意x值的公式/算法感兴趣

---

我正在做一个通用数字（III型）的参考软件实现。我想通过纯粹使用位操作和基本操作，使所有内容都可以轻松地转换为微码。这是我需要简化的公式之一。

正如您正确指出的，

log2（5**x）=x*log2（5）

log2（5）

是一个常数，可以近似为

2.3219281

但是，根据问题，不允许浮动。不是问题

log2_5 = 23219281;
scale = 10000000; // note log2_5/scale is the actual value
result = x * log2_5;
output = (result - (result % scale)) / scale;

---

通过将

result

减少

result%scale

，将其除以

scale

将是一个整数除法，而不是浮点。

正如您正确指出的，

log2（5**x）=x*log2（5）

log2（5）

是一个常数，可以近似为

2.3219281

但是，根据问题，不允许浮动。不是问题

log2_5 = 23219281;
scale = 10000000; // note log2_5/scale is the actual value
result = x * log2_5;
output = (result - (result % scale)) / scale;

---

通过将

result

减少

result%scale

，将其除以

scale

将是一个整数除法，而不是浮点数。

这里是一个非常粗略的近似值，但如果您想从心理上获得它，它会有所帮助

5^3 = 125
2^7 = 128

因此，对于提高到n的幂：

5^n ~~ 2^(7n/3)

因此，5^12接近2^28可能需要多达29位

这有点高估了，因为2^7>5^3，所以28位就足够了，一个很好的用法是简单地将分数上舍入

如果我在Smalltalk中进行评估：

(1 to: 50) reject: [:i | (5 raisedTo: i) highBit = (i*7/3) ceiling].

我得到：

#(31 34 37 40 43 46 49)

---

你可以看到，这个非常简单的公式可以工作到5^30，这并不坏。

这里是一个非常粗略的近似值，但是如果你想从心理上获得它，它会有所帮助

5^3 = 125
2^7 = 128

因此，对于提高到n的幂：

5^n ~~ 2^(7n/3)

因此，5^12接近2^28可能需要多达29位

这有点高估了，因为2^7>5^3，所以28位就足够了，一个很好的用法是简单地将分数上舍入

如果我在Smalltalk中进行评估：

(1 to: 50) reject: [:i | (5 raisedTo: i) highBit = (i*7/3) ceiling].

我得到：

#(31 34 37 40 43 46 49)

你看，非常简单的公式可以工作到5^30，这并不坏

对于一个简单，有效和数学上优雅的方式<代码>楼层（x*log2（5））

由于

x

的整数值为1到100，因此可以进行各种测试，以找到使用整数乘法和除以幂2的“最佳”值。

f（x）=x*一个整数除以2的幂

为了

f（x）=地板（x*log2（5））=地板（x*some\u float\u c）

some\u float\u c的值由以下100个最小值和最大值限定

x   f(x)    mn  mx
        f(x)/x  (f(x) + 1)/x
1   2   2.00000 3.00000
2   4   2.00000 2.50000
3   6   2.00000 2.33333
... 
59  136 2.30508 2.32203
... 
87  202 2.32184 2.33333
... 
98  227 2.31633 2.32653
99  229 2.31313 2.32323
100 232 2.32000 2.33000

最大最小值为

2.32184

，最小最大值为

2.32203

：

2.32184... <= some_float_c < 2.32203...

因此

9511/4096

是“最简单”的，也是“最佳”的候选者

f(x) = (x*9511) integer_divide_by_power_of_2 4096

// In C
unsigned y = (x*9511u) >> 12;

对于一个简单，有效和数学上优雅的方式<代码>楼层（x*log2（5））

由于

x

的整数值为1到100，因此可以进行各种测试，以找到使用整数乘法和除以幂2的“最佳”值。

f（x）=x*一个整数除以2的幂

为了

f（x）=地板（x*log2（5））=地板（x*some\u float\u c）

some\u float\u c的值由以下100个最小值和最大值限定

x   f(x)    mn  mx
        f(x)/x  (f(x) + 1)/x
1   2   2.00000 3.00000
2   4   2.00000 2.50000
3   6   2.00000 2.33333
... 
59  136 2.30508 2.32203
... 
87  202 2.32184 2.33333
... 
98  227 2.31633 2.32653
99  229 2.31313 2.32323
100 232 2.32000 2.33000

最大最小值为

2.32184

，最小最大值为

2.32203

：

2.32184... <= some_float_c < 2.32203...

因此

9511/4096

是“最简单”的，也是“最佳”的候选者

f(x) = (x*9511) integer_divide_by_power_of_2 4096

// In C
unsigned y = (x*9511u) >> 12;

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5x中的位数是上限（x*log2（5）），而不是下限。你需要3位来存储51。我想它是floor（x*log2（5））+1。让我核实一下。编辑：是的，看起来我是对的。f（2）=f（3）在我们使用floor然后添加1时起作用，但对ceil不起作用。我认为你是对的。4需要3位来存储。对于大小有限的情况，您可以使用具有长整数算法的系统来计算表吗？对于[1，n]中的每个整数n，计算5，x的最小整数幂，使得2n不大于5x。存储x和n之间的映射。是的，对于x，5x中的位数是上限（x*log2（5）），而不是下限。你需要3位来存储51。我想它是floor（x*log2（5））+1。让我核实一下。编辑：是的，看起来我是对的。f（2）=f（3）在我们使用floor然后添加1时起作用，但对ceil不起作用。我认为你是对的。4需要3位来存储。对于大小有限的情况，您可以使用具有长整数算法的系统来计算表吗？对于[1，n]中的每个整数n，计算5，x的最小整数幂，使得2n不大于5x。存储x和n之间的映射。是的，使用x作为备选方案，您可以只执行

output=result intdiv scale

其中

intdiv

是带截断的整数除法，因为这也将处理您的

floor

要求。是的，这也是必要的，因为我不能使用浮点运算作为备选方案，你可以只做

output=result intdiv scale

其中

intdiv

是带截断的整数除法，因为这也将处理你的

floor

要求。是的，这也是必要的，因为我不能使用浮点运算