Math 如何计算两个标准化向量与上方向之间的角度？

向下看另一个向量的轴时，如何计算向量相对于“向上”方向的角度？为了说明我的问题，我画了两张图：

在此图像中，您可以看到常规设置。绿色箭头为Y轴（向上为正，向下为负），红色箭头为X轴（左为负，右为正），蓝色箭头为Z轴（朝向屏幕为正，远离屏幕为负）

青色和黄色箭头表示以0,0,0为中心的两个规范化向量（长度=1）。向量可以在3D空间的任何地方，我只是用这个作为例子-唯一可以保证的是它们的长度永远是1，向上的方向永远是向量（0，1，0）

这就是我想弄明白的。我已经确定了摄像头的方向，使其直接指向青色箭头。我试图计算黄色箭头和绿色（Y）轴之间的角度，同时向下看青色箭头指定的线

我自己研究这个问题有困难，可能是因为我缺乏足够的词汇来定义我的问题（因此图表）。似乎可以确定青色箭头和已知轴之间的旋转，然后围绕原点旋转所有东西（包括黄色箭头），此时只需使用atan2（）根据黄色向量的两个坐标确定角度（忽略深度分量），但我猜可能有一种更简单的方法。如果有的话，那可能是什么？

如果你有两个向量v=（v1，v2，v3）和w=（w1，w2，w3），那么它们的点积是v.w=v1.w1+v2.w2+v3.w3。然而，它们的点积的另一个表达式是v.w=|v | w | cos a，其中| v |和| w |是两个向量的长度，a是它们之间的角度

如果将这些向量表示为组件（即（v1、v2、v3）），则很容易计算它们的点积和各自的长度。然后cos a=v.w/（|v |.| w |），取其中的arcos

计算出一个旋转到另一个旋转是很困难的

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这类似于包括和在内的各种问题，但我认为它们让问题听起来比实际情况更复杂

谢谢你的回复，虽然我不确定我是否理解。技术上有三个向量，每个向量都有三个分量（X、Y和Z，因为它们存在于三维空间中）。前两个向量可以是任意位置，但从原点到向量指定的点的长度始终为1。第三个向量是向上方向，始终为0、1、0（指向Y轴上）。我不需要每次计算两个输入向量之间的角度。我需要计算上方向（Y轴）和第二个向量之间的角度，同时向下看第一个向量的轴到原点。（续）这可能就是我迷路的地方——我在互联网上找到的一切都是关于找到两个向量之间的角度，但我不认为这就是我要寻找的。你提到的第二个问题似乎是关于二维向量，而不是三维向量，尽管我最初的想法基本上是试图将问题转化为二维空间。啊，我明白你的意思了——我确实误解了你。当投影到垂直于第三个向量（青色向量）的平面上时，您正在查找两个向量（黄色向量和绿色Y轴）之间的角度。这恐怕比我现在要说的要复杂得多，但这些词汇可能会帮助你开始寻找解决方案。这是正确的，但投影平面需要定向，以便Y轴与绿色箭头对齐。