Math 矩阵求逆还是Cholesky？

我正在开发一种算法来求解Ax=b，其中A和b是已知的

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有两种方法可以做到这一点：x=A-1b或使用Cholesky。我知道矩阵总是平方和正定的，尽管det（A）可能为零。在那些罕见的情况下，我可以忽略它。但从计算和效率的角度来看，创建逆矩阵是否效率太低？

一般来说，您总是希望使用解算器；实际解算器的运行速度应与逆运算的速度相同。与分解相比，计算逆矩阵不仅效率低下，而且使用逆矩阵还存在分解/求解方法可以避免的精度问题

如果你有一个对称矩阵，a是一个合理的选择。密切相关的具有相当的精度，同时也避免了平方根的需要

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如果你的矩阵不是对称的，你不能使用Cholesky或LDL分解——改用这种方法。

对于大型矩阵，是的，逆矩阵效率非常低。然而，特殊的性质，例如矩阵是下三角的，使得逆矩阵的计算更加简单

在数值分析中，Ax=b的最典型解是A的LU分解（LUx=b），然后求解y的Ly=b和x的Ux=y

对于更稳定的方法，考虑使用qr分解，其中q具有q^ t*q= i的特殊性质，因此r＝q^ tb，其中R是上三角形（仅一个反解，而不是与LU的前向和后解）。p> 其他特殊属性，如对称矩阵（Cholesky）或带状矩阵（Gauss），使某些解算器优于其他解算器

一如既往，请注意计算中的错误

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我想补充一点，迭代解算器也是求解系统的常用方法。聚集梯度法是最常用的方法，适用于稀疏矩阵。Jacobi和Gauss-Seidel适用于对角占优且稀疏的矩阵

如果A也是对称的，这个问题可能对Cholesky更有效——如果是对称的，那么肯定要用Cholesky。但是为什么要用Cholesky呢？A总是对称的。我不是在想数学，而是在想计算机的效率，它能把一个做得比另一个好。全矩阵求逆更容易产生舍入误差。一个更好的解决方案，特别是如果你有多个RHS向量，是LU分解。这只是一个修正，但是有很多方法可以解决Ax=b，而不仅仅是上面提到的两种方法。请参阅下面我的答案。QR评论+1。我倾向于先考虑LU，因为它更常用于求解有限元方程。一个反解算的不错。