Math 基于点的线/平面相交

我在空间中有两个点，L1和L2，它们定义了直线上的两个点

空间中有三个点，P1，P2和P3，平面上有三个点

给定这些输入，直线在什么点与平面相交

外汇。平面方程A*x+B*y+C*z+D=0为：

A = p1.Y * (p2.Z - p3.Z) + p2.Y * (p3.Z - p1.Z) + p3.Y * (p1.Z - p2.Z)
B = p1.Z * (p2.X - p3.X) + p2.Z * (p3.X - p1.X) + p3.Z * (p1.X - p2.X)
C = p1.X * (p2.Y - p3.Y) + p2.X * (p3.Y - p1.Y) + p3.X * (p1.Y - p2.Y)
D = -(p1.X * (p2.Y * p3.Z - p3.Y * p2.Z) + p2.X * (p3.Y * p1.Z - p1.Y * p3.Z) + p3.X * (p1.Y * p2.Z - p2.Y * p1.Z))

但是剩下的呢？

解决这个问题最简单（也是最普遍）的方法就是

L1 + x*(L2 - L1) = (P1 + y*(P2 - P1)) + (P1 + z*(P3 - P1))

它给出了3个变量中的3个方程。求解x，y和z，然后将其替换回原始方程中的任何一个，以得到您的答案。这可以推广到做复杂的事情，比如找到4维空间中两个平面的交点

对于另一种方法，

（P2-P1）

和

（P3-P1）

的叉积

N

是与平面成直角的向量。这意味着平面可以定义为点集

P

，使得

P

和

N

的点积是

P1

和

N

的点积。求解

x

，使

（L1+x*（L2-L1））dotn

为该常数，可在一个变量中得到一个易于求解的方程。如果你想让很多线与这个平面相交，这个方法绝对值得

明确地写出来，这给出了：

N = cross(P2-P1, P3 - P1)
Answer = L1 + (dot(N, P1 - L1) / dot(N, L2 - L1)) * (L2 - L1)

在哪里

---

请注意，叉积技巧仅适用于三维，并且仅适用于平面和直线的特定问题

这就是我最终如何在come代码中完成它的原因。幸运的是，一个代码库（XNA）有我需要的一半，其余的都很简单

var lv = L2-L1;
var ray = new Microsoft.Xna.Framework.Ray(L1,lv);
var plane = new Microsoft.Xna.Framework.Plane(P1, P2, P3);

var t = ray.Intersects(plane); //Distance along line from L1
///Result:
var x = L1.X + t * lv.X;
var y = L1.Y + t * lv.Y;
var z = L1.Z + t * lv.Z;

---

当然，我更喜欢在XNA的封面下建立简单的方程式。

网络上已经有了很多关于这个的方程式，但不是你找到x，y，z所需要的真正的“最终”方程式。我需要的是最后一组简单公式来得到结果的x，y，z。这个答案仍然需要一个人去“解”方程，所以这只是答案的一小部分。我要的答案是：x=[基于P1.x，P1.Y，P1.Z，P2.x…等的公式]和类似的Y和Z。@Morten Nielsen：原因是“最终方程式”是可怕的，不可能理解的，并且保证会被错误地输入到你的程序中。特别是因为我不知道你是如何表达你的观点的。但我将编辑我的节点，使叉积公式更明确。这不是关于XNA的问题。

var lv = L2-L1;
var ray = new Microsoft.Xna.Framework.Ray(L1,lv);
var plane = new Microsoft.Xna.Framework.Plane(P1, P2, P3);

var t = ray.Intersects(plane); //Distance along line from L1
///Result:
var x = L1.X + t * lv.X;
var y = L1.Y + t * lv.Y;
var z = L1.Z + t * lv.Z;