Math 匀速绘制极曲线

我想画一个正在绘制的极曲线（螺旋）的动画。我正在使用javascript和画布。目前，我正在使用setInterval调用一个draw函数，该函数绘制从极曲线的参数表示中找到的x和y坐标（x和y以θ表示）。我将θ增加0.01，从0增加到2*pi，每次调用draw（）一次。问题是，我希望动画在每次调用绘制时绘制相同数量的曲线，以便绘制看起来以一致的速度进行。每次调用绘图之间的时间是否不同并不重要；我只需要在整个awing过程中保持恒定的速度（以绘制的像素/绘制的调用数量为单位）。换句话说，我需要为每次调用绘制的极坐标图线段的弧长相同。我不知道该怎么办。如有任何帮助/建议，将不胜感激。谢谢

让f（z）成为您在问题中所指的θ变量。以下是两个参数方程，它们应该与您的方程非常相似：

x（f（z））=f（z）cos（f（z））
y（f（z））=f（z）sin（f（z））

我们可以将f（z）处的位置p（f（z））定义为

p（f（z））=[x（f（z）），y（f（z））]

f（z）处的速度s（f（z））是p在f（z）处的导数的长度

x’（f（z））=f’（z）cos（f（z））-f（z）f’（z）sin（f（z））
y’（f（z））=f’（z）sin（f（z））+f（z）f’（z）cos（f（z））

s（f（z））=长度（p'（f（z）））=长度（[x'（f（z）），y'（f（z））]））

=长度（[f'（z）cos（f（z））-f（z）f'（z）sin（f（z）），f'（z）sin（f（z））+f（z）f'（z）cos（f（z）））

=sqrt（[f'（z）cos（f（z））]2+[f（z）f'（z）sin（f（z））]2+[f'（z）sin（f（z））]2+[f（z）f'（z）cos（f（z））]2）

=sqrt（f'（z）+[f（z）f'（z）]2）

如果你想让速度s（f（z））在C时保持恒定，因为z以1的恒定速率增加，你需要解这个一阶非线性常微分方程：

s（f（z））=sqrt（f’（z）+[f（z）f’（z）]2=C

解决这个问题会得到一个函数θ=f（z），当你不断增加z时，你可以用它来计算θ。然而，这个微分方程没有封闭形式的解

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换句话说，你必须猜测每一步增加θ的幅度，对δ进行二进制搜索，将θ和p（t）上的线积分相加，以评估每个猜测移动的距离。

更简单的方法-将参数更改为与步长弧长成比例的setInterval。这样，您就不必尝试反转弧长方程。如果间隔开始变得太大，可以调整步长，但可以大致调整步长

当你做长度（p`（t）），你用的是什么？长度公式从何而来？它只是2向量的标准长度。[x，y]的长度是sqrt（x^2+y^2）。这不只是使到原点的距离以恒定速率增加吗？我希望螺旋线的弧长不断增加，而不是正在绘制的向量的长度。另外，当你做x^2+y^2的时候，你不需要对x和y都做类似于a^2+2ab+b^2的事情，而不仅仅是对每个项进行平方运算吗？看看我刚才添加的图片。在我的数学中，有点不对劲，但很接近。对不起，我很难理解s（t）如何表示螺旋的长度，而不仅仅是向量的长度。另外，我假设你数学中的问题可能是当你做sqrt（x^2+y^2）时；你只是把x和y的每一项都平方，你有一个特定的螺旋吗？它的方程式是什么？