Math 3D数学：从查找和向上正交向量计算倾斜（滚动）角度

我希望这是问这个问题的合适位置，这个问题是最简单的，但用纯数学而不是图形表示（至少我希望我正确地将问题转化为数学）

考虑到：

• 两个正交向量：Up（ux，uy，uz）和Look（lx，ly，lz）
• 垂直于外观的平面P（因此包括向上）
• Y1是Y（垂直轴）沿P的投影

问题：Y1和Up之间的角度值是多少

正如数学家们所同意的，这是一个非常基本的问题，但我已经挠头至少两周了，无法想象如何将Y投影到p上。。。也许现在太老了，无法找到解决学校练习的方法

我在找三角解，不是用矩阵的解。谢谢

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编辑：我发现我需要确定角度的符号，相对于旋转轴，旋转轴必须是Look。我在我的链接问题上发布了最终代码（见上面的链接）。感谢那些帮助过我的人。非常感谢您的时间。

您需要了解3D空间中的矢量。我认为，对这些，特别是点积和叉积的基本理解，会让你理清头绪。找一本基础向量教科书

两个正交的向量：向上 （ux，uy，uz）和Look（lx，ly，lz）

正交向量有一个零点积

垂直于平面p的平面 查看（因此包括向上）

如果你把Look的叉积取到Up，你会得到第三个向量，它和Up一起定义了垂直于Look的平面

Y1是Y的投影 （垂直轴）沿P向上看

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我不知道你在这里得到了什么，但是任何向量的点积都会给出它在外观方向上分量的大小。

这是一个相对简单的向量数学问题。使用获取Y1，然后使用获取Y1和向上之间的角度

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这个方程很容易用任何语言实现，但如果你问这类问题，你可能打算做更多的重负荷向量数学，在这种情况下，我建议尝试寻找第三方库。

我只是在纸上做这件事。我希望这是对的

让我们假设向上看是标准化的，即长度1。假设平面P包含原点，L是它的法线。Y是（0，1，0）

若要将Y投影到p上，请找到它到p的距离

d = Y dot L = ly

…然后按-d缩放法线，得到Y1（即Y在p上的投影）

现在标准化Y1，即按（1/长度）缩放它。如果它的长度是0，那么你就不走运了

Y1和Up的点积=角度的余弦。所以

angle = acos(Y1 dot Up)

• 两个正交向量：Up（ux，uy，uz）和Look（lx，ly，lz）
• 垂直于外观的平面P（因此包括向上）
• Y1是Y（垂直轴）沿P的投影

我假设这是单位向量。设Y=（0,1,0）。
让我们找到Y1

Y1=Y-（Y*外观）*外观 Y1=Y-Y*外观 Y1=（-lylx，1-lyly，-ly*lz）

注意，当Look为（0,1,0）或（0，-1,0）时，Y1将为（0,0,0）

正如Detmar所说，通过对Y1进行归一化，并找到Y1*Up（其中*是点积）的Arcos，求出Y1和Up之间的角度。

如果Y=（0,1,0），则

Y1=（-lylx，1-lyly，-ly*lz）

|Y1 |=sqrt（Y1x^2+Y1y^2+Y1z^2）

|向上|=sqrt（Upx^2+Upy^2+Upz^2）

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倾斜角度=（Y1xUpx+Y1yUpy+Y1zUpz）/（| Y1 | |向上|）

谢谢，我知道它们，至少我知道它们是什么。我也知道什么是四元数或矩阵。但我仍然不知道如何解决这个三角问题。是吗？是的，我喜欢。我发现很难相信那些自称懂四元数和矩阵的人解决不了这样的问题。我觉得不太对。每个人都可以读一本关于3D数学的书，或者马丁·贝克（Martin Baker）的漂亮页面，我已经完成了所有的工作，第二天我就抛出了一些聪明的词汇，比如正交性、交叉积或四处谈论，但这并不意味着知道如何解决问题。我不明白什么是难以置信的。我很难准确地描述Y1是什么，你有一组样本坐标吗？兰斯，我没有一个例子。然而，这个想法是这样的：最初的Look等于Z，Up等于Y。我将Look向上旋转10°（例如），Y和Up仍然在同一平面上，垂直于Look，Y1等于Y，Y1向上的角度是10°（倾斜角度）。如果现在我将这对眼睛向上旋转10°（俯仰），Y不再是垂直平面上的，我无法测量倾斜角度（这是我想知道的）。我需要在垂直于外观的平面上投影Y（Y1是投影）。然后，倾斜角度是Y1向上的角度。我画了这个，并认为我有它，但后来我意识到，在你在评论中给出的例子中，倾斜角度最终是相同的10度，因为当你绕X轴旋转时，向上和Y1之间的角度永远不会改变。请提供更多的细节。好的，我知道我需要什么，并给出了你需要的公式。谢谢。我同意你建议的两个步骤。我使用的是WPF，Vector3D有一个AngleBetween方法，所以这个操作非常简单。问题只是Y1的值，我无法计算。如果我必须沿着其中一个X，Z轴投影，我会知道怎么做，但不会沿着外观。你能不能帮我提供Y1x、Y1y和Y1z的公式？我被告知这是基础数学，但到目前为止还没有人提供神奇的公式。如果你知道的话，我很感激并同意你回答这两个问题。德特玛，谢谢。这正是我想要的答案。汤姆改进了你的答案，但我会优先考虑你的答案，因为你先回答了。我希望有可能把汤姆列为

angle = acos(Y1 dot Up)