Algorithm 降低埃拉托斯烯筛的空间复杂度，以在一定范围内生成素数

在通过一些测试后，我发现这是生成素数的最好、最快的方法

我想在两个数字之间生成素数，比如说

a

和

b

AFAIK，在Sieve方法中，空间复杂度是O（b）

PS：我写的是Big-O而不是Theta，因为我不知道是否可以减少空间需求

---

我们能降低空间复杂度吗？

如果空间复杂度真的是个问题，也许值得一看。从您共享的wikipedia页面获取引用

如果您有足够的空间存储sqrt（b）之前的所有素数，那么您可以使用额外的空间O（b-a）筛选a到b范围内的素数

在Python中，这可能类似于：

def primesieve(ps,start,n):
  """Sieve the interval [start,start+n) for primes.

     Returns a list P of length n.  
     P[x]==1 if the number start+x is prime.  
     Relies on being given a list of primes in ps from 2 up to sqrt(start+n)."""
  P=[1]*n
  for p in ps:
    for k in range((-start)%p,n,p):
      if k+start<=p: continue
      P[k]=0
  return P

def primesieve（ps、start、n）：
“”“为素数筛选间隔[start，start+n]。
返回长度为n的列表P。
如果数字start+x为素数，则P[x]==1。
依赖于给定从2到sqrt（开始+n）的ps素数列表
P=[1]*n
对于ps中的p：
对于范围内的k（（-start）%p，n，p）：
如果k+开始在你最喜欢的搜索引擎上搜索“埃拉托斯尼的分段筛”。如果你不想去搜索，我在我的博客上有一个。这里有两个基本的选择：通过下面的素数
sqrt（b）
（偏移量）筛选范围
[a..b]
，或奇数。没错，只要消除每个奇数的倍数，就像消除每个素数的倍数一样。在一个块中筛选范围，如果范围太宽，则在几个“段”中筛选（但如果块太窄，效率可能会降低）

在Haskell可执行伪代码中

--foldl:：（r->x->r）->r->[x]->r--foldl的类型签名
primesRange_by_赔率a b=
foldl（\rx->r`neuts`[qx，qx+2*x..b]）
[o，o+2..b]--列表中'r'的初始值
[3,5..floor（sqrt（from integral b））]--x的值，一个接一个
哪里
o=1+2*div a 2——范围的奇数起点
q x=x*x-2*x*min 0（div（x*x-o）（2*x））--范围内x>=x*x的第一个奇数倍

按赔率筛选将具有额外的空间复杂度O（1）（在输出/范围空间O（| b-a |）之上）

这是因为我们可以通过迭代添加2来计算赔率——不同于Eratosthenes筛下的“核心”素数，在
sqrt（b）
下面，我们必须为其保留额外的空间O（pi（sqrt（b））=~
2*sqrt（b）/log（b）
（其中
pi（）
是最重要的）

剩下的问题是我们如何找到那些“核心”素数。试划分将需要额外的O（1）空间，但如果我们用埃拉托斯烯筛来做，我们需要O（sqrt（b））空间来执行核心筛本身——除非我们将其作为分段筛来执行，因此辅助空间要求为O（sqrt（sqrt（b）））。选择更适合您需要的方法。
这是某些a和b的最佳方法。对于足够大的数字，以便
b
字节或位占用太多空间，还有其他方法。尽管O（b）听起来很吓人，但它可能需要相当长的时间——一GB的内存应该可以启用
b
s多达85亿（超过32位所能列举的！）如果你对每个数字使用一个位。有没有一种方法可以让我需要一个等于a和b之间差值的空间？比如说，我们知道a和b之间的范围。我认为你只需要从2到sqrt（b）的素数，因为如果一个数字是复合的，那么至少有一个因子必须小于（或等于）sqrt。（搜索分段筛以获取更多信息）@Peterdererivaz，我认为你的方法是测试一个数字的素数，这与使用筛选算法来查找给定范围内的所有素数不同。这种方法将试除法作为一种单独的技术进行区分。因此，不清楚这对原来的问题有何帮助。@RealzSlaw。对于非常窄的范围，它是相同的，但是对于任何非消失宽度，按赔率筛选比按赔率测试快，因为我们对每一个都进行了测试，但当我们筛选时，我们跳过了越来越长的跨度（例如：
9,15,21…
或
121,143,165…
）并免费收集间隙中的素数。+1虽然索伦森不是埃拉托森的变体，但它是一个完全不同的筛子，具有更差的时间和更高的空间复杂度。顺便说一句，按概率筛分可能会有更差的时间cpxty，但它是O（1）个额外的空间（除了输出）。：）我也添加了一个关于它的答案。：）